Ingeniería Civil

15/6/08

Método de los Tres Momentos

Introducción

En los capítulos anteriores se estudió dos métodos los cuales nos ayudaban a calcular las desviaciones angulares y tangenciales en una viga sometida a cargas externas.

El teorema general de los tres momentos mas que un teorema es una fórmula que relaciona los tres momentos en tres apoyos de una viga continua, que nos es muy útil en el cálculo de momentos en estos apoyos .

Además, este método nos simplifica el proceso de cálculo de los momentos flectores con los cuales se procede al trazado de los ya conocidos: DMF y DFC.

Con la aplicación directa de la fórmula, el proceso se simplifica y se vuelve un proceso netamente matemático rápido de desarrollar y fácil de interpretar.

1.-Generalidades

a) Objetivos

- Aprender a utilizar este método para que nos sea más fácil diagramar los cortantes y momentos flectores que se producen en una viga sometida a cargas externas.

- Conocer más de esta método, para tener el conocimiento de trabajar con estructuras hiperestáticas.

- Poder resolver ejercicios con vigas de mas de dos tramos en poco tiempo.

b) Limitaciones

- Estructuras hiperestáticas complejas de varios tramos, donde se requieren mas ecuaciones para poder resolverlas.

- Cálculo de los diagramas de fuerzas internas.

- Teoría un poco escasa, pero con los ejercicios se aprenderá.

2.- Glosario

- Flexión.-

- Comportamiento elástico.- El comportamiento elástico de un material nos brinda el conocimiento de como se comporta un material al estar sometido por cargas externas, a continuación un ensayo de tracción que nos graficará este comportamiento:

- Vigas continuas.- Vigas con más de un tramo, pueden ser homogéneas (EI=cte) o no (EI no es cte).

Comparación de una viga continua y una de dos tramos

3.- Marco Teórico

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enunció por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos. “La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:

Los términos:

Pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

Tramos 1 - 2

Tramos 2 - 3

Tramos 3 - 4

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).

Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.

M1=0 y M2=PL1

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
ejercicios

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:

4.- Ejercicios:

(Haga click sobre la imagen para visualizar el ejercicio)

5.- Anexos

Viga continua y la representación del momento flector que actúa en ella

Modelo simple de una viga de tres tramos con una carga puntual aplicada en el tramo central. Puede observarse el giro que se produce en las secciones de los apoyos, así como los puntos de inflexión de la deformada de la viga.

Puente construido mediante vigas de acero continuas. El puente consta de tres tramos, y sobre dicho puente se ha construido una carretera con hormigón (Lausanne, Suiza)

Puente sobre el río Potomac. Se utilizan vigas continuas sin ningún tipo de bisagra.

-Programa para resolver vigas continuas: Descargar Beamax:

http://www.aisto.com/roeder/cae/

- Ejercicios propuestos: (click acá)

6.- Bibliografía

-Resistencia de Materiales

Pytel- Singer 4ª Edición

- Google: Buscador de imágenes

- Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP); Curso Interactivo de Resistencia de Materiales.

- http://www.wikipedia.com/

- http://www.lamolina.edu.pe/

- http://www.aisto.com/

- http://www.monografías.com/

4/6/08

Método de la Viga Conjugada

Introducción

En el tema anterior se calculó el giro y el desplazamiento a partir del área de momentos; Ahora se expone un método un poco diferente para obtener los mismos resultados, llamado método de la viga conjugada.

Este método consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

El presente trabajo contiene:

• Cinco problemas básicos, resueltos según el marco teórico.

• Además se presenta links (adjuntos en el anexo) donde se encontrará ejercicios propuestos que ayudará al lector a tener experiencia desarrollando ejercicios de este tipo.

• Un glosario con términos propios del tema, para que el lector sepa lo que esta leyendo y saque sus propias conclusiones.

I.- GENERALIDADES:

1.1 Objetivos

El alumno podrá familiarizarse con la teoría para resolver problemas utilizando este método.

1.2 Glosario:

• Diagrama de momento reducido: Es la representación gráfica de los momentos reducidos.

• Momento reducido: es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la flexión.

Mr=M/EI

• Principio de superposición:

El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos.

Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B.

• Viga conjugada:

Es una viga ficticia cuya longitud es la misma que el de la viga propuesta o viga real y cuya carga es el diagrama de momentos reducido aplicados de la viga real.

II.- MARCO TEÓRICO

2.1 Método de la viga conjugada

El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada.

Luego, aplicando la estática se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia. Donde el cortarte será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.

Postulados:

1. El giro en cualquier sección de la viga real, es igual al cortante en la sección correspondiente de la viga conjugada.

2. La flecha en cualquier sección de la viga real, es igual al momento flector en la viga conjugada en la sección correspondiente.

Los apoyos de la viga real, para la viga conjugada se transforman a las indicadas en la figura. Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga conjugada debe ser estáticamente determinada.

Convención de signos:

Si el cortante es (+): el giro es (-)

Si el cortante es (-): el giro es (+)

Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo.

Si el momento es negativo: el desplazamiento es hacia arriba.

2.2 Transformación de las vigas reales en vigas conjugadas

Ejemplos de estas transformaciones:

2.2.1 Aplicación de la viga conjugada:

• Viga simple, carga concentrada en la mitad de la viga

La viga se flexiona como se indica en la figura (a). El diagrama de momentos flectores en la figura (b) y, como la viga es de sección constante el diagrama M/EI tendría la misma forma que el M. La viga conjugada se representa en la figura (c)

• Viga en voladizo, carga concentrada en el extremo
La viga se supone de sección constante; se flexiona como se indica en la figura (a) la viga conjugada esta representada en la figura (b).

• Viga simple; carga uniformemente distribuida

La viga tiene sección constante, se flexiona como se indica en la figura(a) y la viga conjugada se muestra en la figura (b).

• Viga en voladizo; carga uniformemente distribuida